StoneWars Adventskalender 2023, Tag 4: Knapp daneben ist auch vorbei

Am einfachsten ließ sich zunächst die dritte Frage beantworten:

Nach Auskunft des Erbauers lag niemand mit beiden Aussagen richtig. Da aber alle genannten Zahlen mit ihren jeweiligen Teilbarkeitsregeln zusammenpassen (also z.B. 2400 tatsächlich durch 8 und 1600 durch vier teilbar wäre), müsste, wenn die erste Aussage stimmt, auch immer die zweite Aussage stimmen – das wäre ein Widerspruch. Es kann also niemand die exakte Anzahl erraten haben. Genau zwei Personen sollen sogar mit beiden Aussagen falsch gelegen haben – das behalten wir im Hinterkopf und schließen daraus, dass acht der genannten zehn Teilbarkeitsregeln zutreffen und genau zwei nicht zutreffen müssen.

Schauen wir aber zunächst, was die Auskunft “die Anzahl wurde mehrfach über- und mehrfach unterschätzt” für uns bedeutet. Mehrfach heißt jeweils mindestens zweimal, wir können also die beiden größten und die beiden kleinsten Zahlen eliminieren. Die Lösung muss daher zwischen 1401 und 2399 liegen.

Nun zurück zu den doppelten falschen Aussagen. Diese sollen von Teammitgliedern getroffen worden sein, die direkt hintereinander gesprochen haben. Das bedeutet, dass die gesuchte Anzahl entweder nicht durch 2&3 oder nicht durch 3&4, oder nicht durch 4&5 usw. teilbar sein muss!

Spielen wir diese Fälle also durch:

• 2&3: Wäre die Zahl nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar, dann könnte sie auch nicht durch 4, 6, 8, 9 oder 10 teilbar sein. Es sollen aber nur genau zwei Regeln falsch sein, also ist dies nicht möglich
• 3&4: Hier stehen 8 und 9 im Wege
• 4&5: 8 und 10 schließen diese Kombination aus
• 5&6: Auch hier wäre ein Widerspruch zur Teilbarkeit durch 10 vorhanden, außerdem zu 2 und 3
• 6&7: Die 7 wäre zwar möglich, die 6 aber, wie bereits erläutert, nicht
• 7&8: Diese Kombination wäre denkbar, da eine Zahl zwar durch 2 und 4, aber dennoch nicht durch 8 teilbar sein kann
• 8&9: Diese Kombination wäre daher ebenfalls denkbar
• 9&10: Nicht möglich wegen 2 und 5
• 10&11: Wegen Teilbarkeit durch 2 und 5 ebenfalls ausgeschlossen

Es verbleiben also überhaupt nur zwei Möglichkeiten: 7&8 oder 8&9: Nehmen wir an, die Anzahl wäre weder durch 8 noch durch 9 teilbar. Dann wäre die kleinstmögliche Zahl, die durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 und 11 teilbar wäre, die 4620. Diese läge aber weit außerhalb des oben bereits eingeschränkten Bereichs zwischen 1401 und 2399. Daher muss die gesuchte Anzahl weder durch 7 noch durch 8 teilbar sein (aber durch alle anderen ganzen Zahlen zwischen 2 und 11).

Die kleinste Anzahl, auf die dies zutrifft, ist 1980. Dies ist die einzig mögliche Lösung, denn die nächstgrößere Anzahl, die alle Regeln erfüllt, wäre bereits das Dreifache, also 5940, und läge somit schon außerhalb des zulässigen Bereichs. Am nächsten an der korrekten Steineanzahl lag somit Ryk.

Mögliche Wege zur Berechnung der Zahl: Um auf die Zahl 1980 zu kommen, gibt es mehrere Ansätze, z.B. eine Analyse der Primfaktoren der geforderten Teiler. Der einfachste Weg für alle Nicht-Mathematiker ist es jedoch, mit System auszuprobieren, etwa so: Der erlaubte Bereich liegt zwischen 1401 und 2399. Die gesuchte Zahl soll durch 9 teilbar sein, muss also auch die Quersumme 9 haben. Sie soll aber auch durch 10 teilbar sein, muss also eine 0 am Ende haben. Dann bleiben schon jetzt nur noch die Möglichkeiten 1440, 1530, 1620, 1710, 1800, 1890, 1980, 2070, 2160, 2250 und 2340 übrig. Weitere Regeln, etwa die Teilbarkeitsregel für 4 (“die letzten beiden Stellen müssen durch 4 teilbar sein”) schränken die Möglichkeiten weiter ein. Am Ende weist nur die 1980 alle geforderten (Nicht-)Teilbarkeiten auf. Wer hätte gedacht, dass man sein frühes Schulwissen noch einmal so gut gebrauchen könnte? 😉

Und hier der Vollständigkeit halber zum Schluss noch der “Profi-Weg”: Man zerlegt alle geforderten Teiler in ihre Primfaktoren und multipliziert dann nur die häufigsten Vorkommen der einzelnen Faktoren. Bei geforderter Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 und 11 bedeutet das:

2 | 3 | 2*2 | 5 | 2*3 | 3*3 | 2*5 | 11 => 2*2*3*3*5*11 = 1980

Wenn man diesen Weg kennt, kann man die Zahl (nachdem man weiß, welche Teiler gefordert sind) innerhalb von weniger als einer Minute berechnen.

Wir werden auch in diesem Jahr im Rahmen des Adventskalenders täglich einen Preis verlosen. Dabei handelt es sich neben gelegentlichen Kleinigkeiten wie z.B. Polybags mitunter auch um größere Sets oder andere, ausgefallenere Preise. Alle verlosten Gewinne stammen aus unseren privaten Sammlungen bzw. wurden von uns selbst bezahlt, sofern wir nicht explizit auf das Gegenteil hinweisen.

Die Lösungen der Rätsel findet ihr jeweils im Beitrag des darauffolgenden Tages. Spätestens eine Woche nach dem Einsendeschluss einer Aufgabe werden die Gewinner im jeweiligen Beitrag als Update ergänzt und per E-Mail benachrichtigt. Auch, wenn wir damit meist schneller sind, können sich gerade bei schwierig auszuwertenden Lösungen oder am Wochenende Verzögerungen ergeben.

Um den logistischen Aufwand zu reduzieren, versenden wir die Gewinne in Etappen. Das bedeutet, dass manche Päckchen bereits vor Weihnachten auf die Reise gehen, andere hingegen erst danach. Spätestens bis Mitte Januar werden die Preise aber alle den Weg zu euch finden!